Autour de la conjecture d'hyperbolicité des fractions rationnelles (Clément Lefèvre - Université de Lille)

Je commencerai par donner quelques rappels sur les acteurs qui
permettent de comprendre la dynamique d’une fraction rationnelle sur la sphère
de Riemann. Ensuite, j’introduirai un type particulier de fractions rationnelles : les
fractions rationnelles hyperboliques. Celles-ci ont une place particulière en
dynamique holomorphe car elles ont été largement étudiées depuis le début du 20ème
siècle et à cause de leur probable densité dans l’espace des fractions
rationnelles d’un degré fixé. J'évoquerai certains travaux réalisés apportant une réponse partielle
positive à cette conjecture. Puis, je parlerai d’un certain type de fractions
rationnelles non-hyperboliques que sont les applications Collet-Eckmann. Sous certaines
conditions, un résultat d’Astorg, Gauthier, Mihalache et Vigny permet de les
approcher par des hyperboliques. Enfin, je présenterai un résultat obtenu dans le cadre de
ma thèse qui généralise leur résultat et donne une classe plus large
d’applications approchables par des hyperboliques. Si le temps le permet, je donnerai
quelques points clefs de la preuve.