Approximations rationnelles des sous-espaces vectoriels — Nicolas de Saxcé (Université Sorbonne Paris Nord)

Le théorème de Dirichlet en approximation diophantienne implique que pour tout réel x, il existe un rationnel p/q arbitrairement proche de x tel que |x-p/q|<1/q^{^2}. En outre, l'exposant 2 qui apparaît dans cette inégalité est optimal, comme on le voit par exemple en prenant x=\sqrt{2}. En 1967, Wolfgang Schmidt a suggéré d'étudier un problème similaire, où x est un sous-espace réel de R^d de dimension l, que l'on cherche à approcher par un sous-espace rationnel v. Le but de l'exposé sera d'obtenir la valeur optimale de l'exposant dans l'analogue dans ce cadre du théorème de Dirichlet. La démonstration est basée sur une étude des orbites diagonales dans l'espace des réseaux de R^d.