Approche géométrique du problème de Galois inverse (Antonin Assoun)

Le problème inverse de la théorie de Galois s'énonce ainsi : est-il vrai que tout groupe fini est groupe de Galois d'une extension galoisienne du corps des nombres rationnels Q ? Les premiers résultats purement algébriques sur le sujet ont consisté à trouver des polynômes à coefficients rationnels particuliers dont le corps de décomposition réalisait un certain groupe fini. Une approche plus systématique a été ouverte en 1892 par le théorème d'irréductibilité de Hilbert qui permet de montrer que si Q vérifie ce qu'on appelle la propriété de Galois inverse régulière, alors il vérifie la propriété de Galois inverse. Dans cet exposé, après avoir rappelé la définition des objets de la théorie de Galois (extension de corps galoisienne, groupe de Galois, correspondance de Galois) on verra pourquoi le problème inverse régulier sur le corps des nombres complexes C lie très fortement des propriétés de topologie, de géométrie complexe, d'arithmétique et de théorie des groupes. Si le temps le permet on regardera ensuite comment ces notions s'adaptent au cas des corps non commutatifs.