Antoine Ayache (Lille) : "Fonctions aléatoires erratiques : le concept de non-déterminisme local et l'exemple du champ fractionnaire stable harmonisable"

Lieu : Salle Kampé de Fériet, 1er étage du bâtiment M2

Date : 24 janvier 2025

Heure : 14h

Orateur : Antoine Ayache

Affiliation : Université de Lille

Titre : Fonctions aléatoires erratiques : le concept de non-déterminisme local et l'exemple du champ fractionnaire stable harmonisable

--- Résumé ---

En général, établir la nulle-part différentiabilité d'une fonction n'est pas un problème trivial ; on doit même parfois faire face à des difficultés sérieuses. L'objectif de cet exposé est de décrire une stratégie générale, reposant sur l'analyse de Fourier, qui permet de montrer que la trajectoire typique d'un champ aléatoire est partout irrégulière (nulle-part différentiable entre autres). D'abord, on présente la notion de "temps local" (autrement dit "le temps de séjour d'une trajectoire en un point") qui a été introduite par Paul Lévy, dans le cadre de ses travaux pionniers sur le "mouvement brownien". Ensuite, on expose le principe fondamental de Simeon M. Berman permettant de ramener le  problème de l'étude de l'irrégularité trajectorielle d'un champ, à celui de l'étude de la régularité du "temps local" associé. Puis, on rattache ce dernier problème à la propriété dite "non-déterminisme local", qui généralise, de  façon souple, la propriété "d'indépendance des accroissements" d'un processus stochastique. Enfin, on donne les principales idées de la démonstration permettant d'établir le "non-déterminisme local" du "champ fractionnaire stable harmonisable". Signalons que ce champ est, dans le cadre des lois de probabilité à queue lourde, l'une des généralisations les plus classiques des "mouvements browniens et browniens fractionnaires". Signalons aussi que l'une des principales difficultés de cette démonstration est l'absence de l'inégalité de Hölder dans les espaces L^p, lorsque l'indice p est strictement plus petit que 1.