Analyse par ondelettes et applications (Christophe Louckx, Univ. de Lille)

Résumé :

Partant du constat que l’analyse de Fourier ne fournit presque aucune information sur la régularité d’un signal au cours du temps, nous expliquerons que l’analyse par ondelettes (qui trouve sa source dans les travaux de Haar (1910)), qui est pourtant une méthode hilbertienne analogue, est l’outil adéquat pour en faire état très précisément. Elle a été construite pour ça. Nous l’illustrerons rapidement par le nettoyage de signaux expérimentaux et le traitement d’images. Et pour des exemples plus mathématiques ainsi que pour illustrer la transformée par ondelettes, nous donnerons les liens entre cette transformée et la régularité ponctuelle de courbes continues jamais dérivables, l’exemple historique étant la célèbre fonction de Weierstrass (Travaux de S. Jaffard).

L’exposé s’attachera ensuite à présenter la construction de bases orthonormées d’ondelettes en mentionnant la volonté des différents contributeurs tout au long des années 80 (I. Daubechies, Y. Meyer, S. Mallat) de trouver des bases orthogonales d’ondelettes de plus en plus régulières.

Enfin si le temps le permet, les propriétés miraculeuses des ondelettes de Meyer seront illustrées par l’obtention d’une version continue sous la forme d’une série dite aléatoire d’ondelettes pour un mouvement (multi-)fractionnaire brownien (Travaux de A. Ayache).