Jules Chenal (Université de Lille) : Sur la topologie des lieux réels de variétés toriques

Les variétés toriques complexes pouvant toujours être définies sur l'anneau des entiers ces dernières possèdent toujours une forme réelle (quasi)canonique dite déployée. Il s'agit de l'unique, à équivalence près, dont le tore est un produit de groupes multiplicatifs réels. Les lieux réels de ces formes ont largement été étudiés. Dans le cas projectif lisse on connait, entre autres, des présentations de leur algèbre de cohomologie ainsi que de leur groupe fondamental. L'ensemble des structures réelles des variétés toriques ont été classées et la topologie (euclidienne) de leur lieu réel étudiée en dimension 2 et 3. Dans cet exposé je présenterai une étude de leur topologie en toutes dimensions. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Matilde Manzaroli.

Dans un premier temps je rappellerai la classification des structures réelles des variétés toriques. J'en profiterai pour présenter une certaine manière de penser la classification permettant de hiérarchiser ces dernières en terme de "complexité". On arrivera assez rapidement à comprendre la forme du lieu réel des structures les plus simples. On qualifie celles-ci de proprement déroulées. En particulier, le tore de ces dernières ne contient aucun facteur isomorphe à la restriction de Weil du groupe multiplicatif complexe. Ensuite je présenterai un algorithme qui associe une variété proprement déroulée à chaque variété torique réelle. Cette procédure contient deux étapes : une série d'éclatements toriques puis le passage à un revêtement ramifié. Elle nous permettra de montrer que le lieu réel d'une variété torique complète est toujours connexe (lorsqu'il est non vide). Pour finir nous verrons comment en déduire une formule des nombres de Betti du lieu réel d'une variété torique lisse complète en fonction de données combinatoires.