Mathieu Da Silva (Université Paris-Saclay) : Sur le nombre de valeurs d'une forme binaire irréductible de degré 2 qui s'écrivent comme une norme dans certains corps de nombres cycliques

Dans les années 90, Serre a initié un programme de recherche autour de la probabilité qu'une équation choisie aléatoirement au sein d'une famille possède une solution rationnelle. Par exemple, il démontra que 0% des coniques diagonales possèdent un point rationnel. Très peu de familles ont été étudiées à ce jour, bien qu'une conjecture due à Loughran--Smeets prédise un équivalent asymptotique dans certains cas. Dans l'esprit de cette conjecture, je vais expliquer comment, étant donné $F \in \Z[s,t]$ un polynôme homogène irréductible de degré 2 et $C/ \Q$ un corps de nombre cyclique cubique dont l'anneau des entiers est principal, on peut estimer (en ordre de grandeur) la proportion de F(s,t) qui s'écrivent comme la norme d'un élément de C. La méthode utilisée repose sur des techniques de théorie analytique des nombres comme le crible et formule de Perron, ainsi que sur de la géométrie des nombres.