Courbes modulaires tordues et de congruences de courbes elliptiques — Elie Studnia (Leiden University)

Deux courbes elliptiques E, F/Q sont dites congrues modulo p si les deux Gal(Qbar/Q)-modules E[p](Qbar) et F[p](Qbar) sont isomorphes. Il est connu depuis Faltings que, si deux courbes elliptiques E et F sont congrues modulo une infinité de nombres premiers, elles sont isogènes. La conjecture de Frey-Mazur prédit que si E/Q est une courbe elliptique et p est un nombre premier assez grand, alors les seules courbes elliptiques F/Q à laquelle E soit congrue modulo p sont les courbes isogènes à E. Ce problème peut être reformulé comme la détermination des points rationnels d'une certaine courbe modulaire, qui est une tordue galoisienne de X(p)/Q. Dans ce contexte, on dispose d'une stratégie de résolution introduite par Mazur. Je présenterai comment appliquer cette stratégie au cas de la courbe elliptique E d'équation y^2=x^3-23, et esquisserai la preuve du fait que toute courbe elliptique F congrue modulo 23 à E lui est isogène.