Christophe Louckx (Univ. Lille) : Estimateurs statistiques des paramètres du processus multi-fractionnaire stable harmonisable

Le Processus Multi-fractionnaire Stable Harmonisable (PMSH) Z a été introduit il y a 15 ans indépendamment dans deux articles: celui de Dozzi et Shevchenko dans [4] et et celui de Biermé, Lacaux et Scheffler dans [3]. Ces auteurs se sont notamment intéressés à l'étude des comportements, global et local de ses trajectoires. Des résultats optimaux ont ´et´e obtenus plus r´ecemment dans notre article [2]. Ainsi, après avoir introduit le PMSH, nous commencerons par présenter rapidement ces derniers résultats. Ce PMSH Z, processus non gaussien à trajectoires continues, est défini par une intégrale stochastique stable dans le domaine fréquentiel; il dépend d’un paramètre α ∈ ]0, 2[ et d’un autre H : R −→ ]0, 1[ qui, lui, est fonctionnel et appelé fonction de Hurst. Signalons que, lorsque α est substitué par 2, nous retrouvons un Mouvement Multi-fractionnaire Brownien. Il est important de construire des estimateurs statistiques pour ces deux paramètres. Le paramètre α ∈ ]0, 2[ permet de contrôler l’épaisseur des queues des lois marginales de Z, alors que le paramètre fonctionnel H(·) permet de prescrire la régularité de Hölder ponctuelle de Z en tous points (voir les trois articles déjà cités), comme c’est le cas de la plupart des autres processus multi-fractionnaires, gaussiens ou non. L’estimation statistique de la fonction de Hurst H(·) des processus multi-fractionnaires suscite de l’intérêt depuis longtemps. De nombreux articles ont été publiés dans ce domaine. Cependant, leurs stratégies et outils sont difficilement transposables dans le cadre non gaussien et non ergodique du PMSH. Ainsi, dans la suite de notre exposé, en nous inspirant du très récent article [1] qui s’intéresse à l’inférence statistique pour le Processus Fractionnaire Stable Harmonisable (PFSH) (c’est-à-dire quand H(·) est une fonction constante), nous vous présenterons la construction des estimateurs fortement consistants et asymptotiquement normaux pour le paramètre de stabilité α du PMSH et pour la valeur de sa fonction de Hurst H(·) en chaque point. Ces estimateurs sont bas´es sur la connaissance complète d’une trajectoire. Si le temps le permet, alors nous présenterons un estimateur uniforme sur un intervalle compact de la fonction de Hurst H(·). Enfin, partant d’une trajectoire discrétisée raisonnablement choisie, nous verrons comment construire les versions discr´etis´ees des estimateurs précédents.

Bibliographie
[1] A. Ayache. Harmonizable fractional stable motion: asymptotically normal estimators for both parameters. Electronic Journal of Statistic 18 (2024), no. 2, 4459–4498,
[2] Ayache, A. and Louckx, C. Harmonizable Multifractional Stable Field: sharp results on sample path behavior. Stochastic Processes and their Applications, Volume 186, août 2025, 104638,
[3] Hermine Biermé, Céline Lacaux, Hans-Peter Scheffler. Multi-operator scaling random fields. Stochastic Processes and their Applications, 2011, number 11, vol. 121, pages 2642-2677,
[4] M. Dozzi, G. Shevchenko. Real harmonizable multifractional stable process and its local properties. Stochastic Processes and their Applications, Vol. 121, Iss. 7, pp. 1509-1523, (2011).