Charles Fougeron (Université Paris 13) : Marche aléatoire à mémoire vectorielle et fractions continues multidimensionnelles

Les fractions continues multidimensionnelles généralisent les fractions continues classiques et l'application de Gauss, formant ainsi une famille d'applications élémentaires sur les vecteurs réels.
La dynamique de ces applications est étroitement liée à la qualité d'approximation des vecteurs réels par des vecteurs rationnels.
La question centrale de la convergence de ces algorithmes pour un vecteur générique constitue un prérequis fondamental dans l'étude de ceux-ci.
Cependant, la diversité des algorithmes a conduit différents groupes de mathématicien·ne·s à développer des outils dynamiques spécifiques à chaque algorithme, sans cadre théorique unifié.
Ce travail propose une reformulation de ces questions en termes de marches aléatoires sur un graphe avec mémoire infinie.
La loi de ces marches aléatoires, définie de manière élémentaire, révèle des comportements parfois surprenants.
En introduisant un critère pour la récurrence des ces marches aléatoires, nous donnerons un cadre unifié pour démontrer la convergence ainsi que des propriétés fortes d'ergodicité pour ces algorithmes.