Antoine Velut (ENS Lyon) : Groupes fondamentaux de cônes asymptotiques de groupes de Lie

Dans cet exposé, je vous propose de regarder les groupes de Lie à travers un télescope. Pour paraphraser Gromov : en déplaçant notre point de vue ``à l'infini'', un espace qui semblait  ``ennuyeux et sans intérêt pour nos yeux de géomètres'' devient ``une unité solide, connexe et continue, qui remplit l'horizon sans discontinuer et remplit nos coeurs de géomètres de joie''.

On prend cette idée au pied de la lettre, en étudiant le cône asymptotique d'un espace métrique, obtenu comme une ``image vue de l’infini'' de l'espace en question.  Plus précisément, on étudie le groupe fondamental du cône asymptotique, qui est un invariant de quasi-isométrie, et qu’on teste en pratique en construisant des suites de lacets de longueur tendant vers l'infini. 

Par ce prisme du cône asymptotique, on s'intéresse à la géométrie à grande échelle des groupes de Lie. On décrira en particulier le groupe SOL, qui est un groupe de Lie résoluble faisant partie des 8 géométries modèles de dimension 3.

On verra qu'une condition algébrique sur les groupes de Lie, appelée obstruction SOL, implique que le cône asymptotique a un ”très grand” groupe fondamental, au sens où ce dernier contient le groupe fondamental des boucles d’oreilles hawaiiennes.