Adèle Deberge (Université de Lille) : Matrices aléatoires, systèmes de particules et dynamique de Langevin

Le premier modèle de matrices aléatoires a été introduit dans les années 30 par le statisticien Wishart. Dans les années 50 nait un second modèle, celui des matrices de Wigner. Inventé par le physicien du même nom, le but de ces objets est d'essayer de comprendre les niveaux d'énergies de noyaux d'atomes lourds via l'étude de leur spectre. 

Si les matrices de Wigner ont été introduites en physique quantique, elles sont de façon assez surprenantes reliées à un autre domaine de la physique : la physique statistique. Il s'avère que, dans le cas gaussien, le spectre d'une matrice de Wigner de taille N×N se comporte "presque" comme un système de N électrons à l'équilibre distribués sur une ligne (l'interaction entre deux particules n'étant pas la bonne mais c'est la seule chose qui ne correspond pas au cas physique). 

Ce phénomène déjà remarquable décrit une statistique à l'équilibre, en quelque sorte lorsque le système n'évolue pas. Mais il est possible, en considérant désormais une collection de matrices de Wigner indexées par le temps (on parlera de processus) de modéliser "exactement" l'évolution de ces électrons, leur dynamique (toujours à ceci près que l'interaction n'est pas la bonne). Ce modèle a été introduit par Dyson dans les années 60. 

Lors de cet exposé, j'essaierai d'en dire plus sur ces objets, en prenant soin de rappeler un maximum de notions de probabilité. Si le temps le permet, je parlerai également de résultats asymptotiques lorsque le nombre de particules tend vers l'infini, et de la direction possible que prendra ma thèse.